在 Python 中，小根堆（Min Heap）是一种特殊的二叉树数据结构，其中每个父节点的值都小于或等于其子节点的值。堆的根节点（堆顶）是整个堆中的最小元素。Python 提供了内置模块 heapq 来实现堆操作，默认情况下 heapq 实现的是小根堆。

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小根堆的特点

1. 堆顶元素最小：堆顶元素始终是堆中的最小值。
2. 完全二叉树：堆是一棵完全二叉树，通常用数组来实现。
3. 高效操作：
   • 插入元素的时间复杂度为 (O(\log n))。
   • 删除堆顶元素的时间复杂度为 (O(\log n))。
   • 获取堆顶元素的时间复杂度为 (O(1))。

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Python 中的 heapq 模块

heapq 是 Python 的标准库模块，提供了对小根堆的支持。以下是 heapq 的常用函数：

1. heapq.heappush(heap, item)

• 将元素 item 插入堆 heap 中，并保持堆的性质。
• 示例：

  python">import heapq
  heap = []
  heapq.heappush(heap, 3)
  heapq.heappush(heap, 1)
  heapq.heappush(heap, 2)
  print(heap)  # 输出: [1, 3, 2]
  

2. heapq.heappop(heap)

• 弹出并返回堆 heap 中的最小元素（堆顶元素），同时保持堆的性质。
• 示例：

  python">import heapq
  heap = [1, 3, 2]
  print(heapq.heappop(heap))  # 输出: 1
  print(heap)  # 输出: [2, 3]
  

3. heapq.heapify(x)

• 将列表 x 原地转换为一个堆，时间复杂度为 (O(n))。
• 示例：

  python">import heapq
  heap = [3, 1, 2]
  heapq.heapify(heap)
  print(heap)  # 输出: [1, 3, 2]
  

4. heapq.heappushpop(heap, item)

• 先将元素 item 插入堆中，然后弹出并返回堆中的最小元素。
• 示例：

  python">import heapq
  heap = [1, 3, 2]
  print(heapq.heappushpop(heap, 0))  # 输出: 0
  print(heap)  # 输出: [1, 3, 2]
  

5. heapq.heapreplace(heap, item)

• 先弹出并返回堆中的最小元素，然后将元素 item 插入堆中。
• 示例：

  python">import heapq
  heap = [1, 3, 2]
  print(heapq.heapreplace(heap, 0))  # 输出: 1
  print(heap)  # 输出: [0, 3, 2]
  

6. heapq.nsmallest(n, iterable)

• 返回可迭代对象 iterable 中最小的 n 个元素。
• 示例：

  python">import heapq
  data = [3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6]
  print(heapq.nsmallest(3, data))  # 输出: [1, 1, 2]
  

7. heapq.nlargest(n, iterable)

• 返回可迭代对象 iterable 中最大的 n 个元素。
• 示例：

  python">import heapq
  data = [3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6]
  print(heapq.nlargest(3, data))  # 输出: [9, 6, 5]
  

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小根堆的应用场景

1. 优先级队列：小根堆常用于实现优先级队列，堆顶元素始终是优先级最高的元素。
2. Top K 问题：例如查找最小的 K 个数或最大的 K 个数。
3. Dijkstra 算法：在图的最短路径算法中，小根堆用于高效地找到当前距离最小的节点。
4. 合并有序列表：可以使用堆来高效地合并多个有序列表。

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示例：使用小根堆实现优先级队列

python">import heapq

# 创建一个优先级队列
pq = []
heapq.heappush(pq, (2, "code"))
heapq.heappush(pq, (1, "eat"))
heapq.heappush(pq, (3, "sleep"))

# 按优先级顺序处理任务
while pq:
    priority, task = heapq.heappop(pq)
    print(f"Processing task: {task} (priority: {priority})")

输出：

Processing task: eat (priority: 1)
Processing task: code (priority: 2)
Processing task: sleep (priority: 3)

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注意事项

1. 默认是小根堆：heapq 默认实现的是小根堆。如果需要大根堆，可以通过插入负数来实现。
   • 示例：

     python">import heapq
     heap = []
     heapq.heappush(heap, -3)
     heapq.heappush(heap, -1)
     heapq.heappush(heap, -2)
     print(-heapq.heappop(heap))  # 输出: 3
     

2. 堆的元素可以是元组：heapq 支持元组作为元素，元组的第一个元素用于比较（优先级）。

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通过 heapq 模块，Python 提供了一种简单而高效的方式来实现小根堆，适用于各种需要高效管理最小值的场景。